\documentclass[12pt,a4paper]{article}

\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage[francais]{babel}
\usepackage[empty]{fullpage}
\usepackage{gensymb}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{braket}

\begin {document}

\begin{center}
Faculté des Sciences appliquées\let\thefootnote\relax\footnotetext{http://quic.ulb.ac.be :\\ Evgueni.Karpov@ulb.ac.be, Christina.Giarmatzi@ulb.ac.be} \hfill  PHYSH301/2012-2013 \\[1cm]
{\Large Mécanique quantique I \\[0.3cm]
{\large \underline{Séance d'exercices n\degree 8}: Moment cinétique et spin 1/2}}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item À partir des relations de commutation qui le définissent, montrer que tout moment cinétique satisfait la propriété étonnante suivante
\begin{equation}
{\bf L}\times{\bf L}=i\hbar\,{\bf L}\nonumber
\end{equation}

\item On considère l'observable $\bf{S}$ associée à un moment cinétique $s=1/2$ (spin). On note $\{\ket{\uparrow},\ket{\downarrow}\}$ la base à deux dimensions des états propres communs des opérateurs $\bf{S}^2$ et $S_z$. Dans cette base:
\begin{enumerate}
\item Écrire la représentation matricielle de $\bf{S}^2$ et $S_z$.
\item Écrire la représentation matricielle des opérateurs $\textrm{échelle}^1$ $S_+$ et $S_-$. En déduire la représentation matricielle de l'observable ${\bf S}$.
\end{enumerate}

\item Spin d'orientation quelconque.
\begin{enumerate}
\item Rechercher les états propres communs à $\bf{S}^2$ et à $S_u =
\bf{u} \cdot \bf{S}$ où $\bf{u}$ est un vecteur unité d'orientation
arbitraire $(\theta,\varphi)$.
\item Appelons ces vecteurs $\ket{\uparrow}_u$ et $\ket{\downarrow}_u$ et supposons que l'on ait
préparé l'état $\ket{\uparrow}_u$.
Analyser les mesures (résultats et probabilités) de
\begin{enumerate}
\item $S_z$,
\item $S_x$,
\item $S_z$ puis $S_x$.
\end{enumerate}
Commenter.
\end{enumerate}

\item Précession de Larmor : le hamiltonien d'une particule de spin 1/2 dans un champ magnétique d'amplitude $B$ uniforme orienté suivant l'axe $z$ est donné par
\begin{equation}
H=\gamma\,{\bf S.B}\nonumber
\end{equation}
où est le facteur gyromagnétique.
\begin{enumerate}
\item Déterminer les valeurs propres et états propres correspondants.
\item Donner l'évolution temporelle de l'état d'une telle particule initialement dans l'état $|+\rangle_u$ et interpréter physiquement.
%\item Pour un électron $\gamma=-eg/2m$ où le facteur de Landé $g=2$.
\end{enumerate}

\end{enumerate}

\footnotesize{
\begin{enumerate}
\item $J_{\pm}\ket{j,m}=\hbar\sqrt{(j\mp m)(j\pm m+1)}\ket{j,m\pm 1}$
\end{enumerate}
}


\end{document}